中3「y=ax^2の変域」の教え方

y=ax^2の変域の問題は、教え方に悩んでる先生が多い印象です。

例えば「xの変域が0を含まないときは今まで通り計算しよう、変域が0を含むときにはyの変域の片方が0で、もう片方は絶対値の大きい方だよ」（便宜上「場合分け法」と呼びます）という、この問題ができることのみに特化した方法。自分もこれを採用してた時期がありましたが、生徒の理解度はあまり良いとも思えず、また、応用問題に対して手がつかなくなるという欠点を持ってました。正答率も高くなかったです。

で、色々な方法を試してみましたが一番効果的だったのは「グラフを書いてそれを見て変域を判断する」というシンプルな方法です。

この方法のメリット

①応用範囲が広い。応用問題にも結構対応できるようになる

文字式を使うような問題でもグラフを書ければできる問題が多いです。場合分け法などではそのうち対応できない問題が増えてきます。

②原理的・本質的に理解ができ、理解に無理がない。また、教師側の理解にもっとも近い方法である

そもそも、グラフの形から最大・最小を判断するというのが変域の本質です。さっき述べた場合分け法の原理もx=0で最小値（or最大値）がy=0になるからです。それを理解するのに、グラフを使えば無理がありません。

また、教師だって頭のなかでグラフをイメージ（書く）して判断しているはず。イメージできるのは書くことができるからです。いきなり生徒に「イメージして解くんだぞ」という無理な要求はしないように。書くのが楽々できる人が結果としてイメージするという選択肢に到達するのであって、書くことができない子にはイメージできません。

③簡単な変域の問題における正答率が高い

変な場合分けをしたり、勘違いすることも少ないため、正答率は高いと思います。

この方法を採用した年と場合分け法を採用した年では定期テストでの正答率が大分違いました。

デメリット

①グラフを書ける子が少ない

というか教えてなければまずできないです。「さあ、グラフを書くんだぞ」って言って書けるなら苦労しません。大抵の子はどうやって目盛りのないノートにグラフを書くのか、方法がわかりません。「グラフの書き方ぐらい分かるだろ」と教師の常識は押し付けては駄目です。

まずはグラフの書き方をしっかり理解する必要があり、そのために授業に時間をかける必要があります。

②授業に時間がかかる

この問題ができるようになるためには以下の様なステップを踏みましょう。

1.軸の書き方を教える

タテ・ヨコ方向への矢印と、y・x・0の三文字を書かせます。どんなグラフでもこれを使えばノートに書くことができるよ、高校でも同じやり方を使うんだよ、と教えれば意義も感じてくれるかと。

2.まずは簡単なy=ax+bのグラフから書かせる

適当な１次関数のグラフを書かせてみます（例えばy=2x-3を書いてみて、と言う）。これで何も書けない子だったら、目盛りのあるグラフ用紙でも書けてない可能性があります。目盛りのあるグラフ用紙に書けない子はノートにアバウトに書くことは無理です。手間ですが必要なので復習させてください。

で、書けるようなら注意点を説明します

間違えてはいけないこと

・右上がりか右下がりか（aが＋か－か）

・切片の位置（bが＋か－か）

アバウトで良いもの

・aの傾きの絶対値

・bの切片の絶対値

グラフをノートに書くときはアバウトで良いですがアバウトにしてはいけないものとしてよいものがあります。符号関連は間違ったら駄目で、絶対値関連は適当でも大丈夫です。極端な話、y=2x-3とy=1000x-30000とy=3/10x-123/457の書き方は全部同じでいいのです。符号さえ間違えなければグラフの見た目として問題ないです。

3.変域を含むグラフを書かせる

y=-5x+10(2<x<5)のグラフを書く、というようなことを習得させます。ポイントはx=2とx=5のときに点を打って、それ以外の範囲を消しゴムで消すこと。何問かやればスムーズにできるかと。

4.y=ax^2で変域を含むグラフを書かせる

同じことをy=ax^2でもできるかどうかの確認。ここまでのことが理解できていればできるかと。ここまでが「グラフを書く」ことができるようになるまでに必要なステップです。

5.それを見て変域の最小値・最大値を判断させる

グラフさえ書ければあとはそれの一番高いところ・低いところを見ればOKです。変に場合分けをする必要もなく、理解に無理がありません。

以上。これを見て分かるように、一から理解するとなると時間はかかってしまいます。なので教師としてもテスト直前期などの時間のないときにこれを教えるのは厳しいと思います。テスト前の最後の授業でまだ変域につまづいてるようなら、この問題は諦めさせて他の計算問題で得点させたほうが良いと思います。

ただ、逆に時間があるのならば、この方法はぜひオススメしたいです。習得すれば、１次関数の変域の問題、目盛りのないグラフの問題などの理解度に大きな還元がありますから長期的に見れば得です。

②問題を解くのに少し時間がかかる

グラフをいちいち書く時間は必要です。定期テストでは同じような問題をたくさん解く必要があるので、ちょっと問題かもしれません。

ただ、練習を重ねればグラフを書くスピードは改善します。また、グラフを書けるようになれば自然にイメージすること（最速の方法）ができる子供も出てきます。イメージできる子に対しては「イメージできるなら書かなくてもいい、ただミスはするなよ」と注意はしておいてください。

長期的に見た場合に入試のときにはせいぜい一問しか出題されませんから時間の問題はほぼ無視できますし、入試のときに場合分け法などの変なやり方を思い出せない方が問題だと思います。

以上から、この方法はオススメです。

中３「2次方程式の計算」の教え方（方針）

以下のプロセスで身に付けさせるのが良いです。

①2次方程式とは何かが分かる

単純に、x^2を含む方程式と教えればいいです。後々出てくる(x+1)^2=3はこの説明の反例ですが、「展開すればx^2があるでしょ」と言えばとくにそれ以上疑問もないと思います。　

この説明をしなければ、自分が何をしているのか認知もできていない生徒が発生する可能性があります。

②x^2 = 〇　という基本形を解ける

③2x^2-10 = 0 のような形は、x^2 = 〇の形に誘導する

④(x+a)^2 = 〇　という2乗の部分が膨らんでも解ける

⑤A×B = 0 を解ける

最初のうちは公式的に教えないほうが良いです。原理を分かってないと後々⑥のときに符号間違いを起こします。原理を理解させましょう。

⑥因数分解してからA×B = 0 型を利用して解ける

⑤、⑥に関しては後日関連記事を作る予定。

⑦平方完成して解ける

平方完成は理解がとても難しく、時間がかかります。また、このパターンの多くの問題は解の公式で解けます。よって初学者に平方完成は必要ありません。必要になったらそのとき理解する、という程度の扱いで良いです。

⑧2次方程式の解の公式を覚えて、扱える

覚え方に関しては、こんなサイトを見つけました。

http://www.d2.dion.ne.jp/~hmurata/goro/kai2.html

個人的には「強えー武士のルーツは貧乏貧乏毎夜あくせく」が気に入ってます。

⑨色々な形でも使い分けをする　←重要

後々「二次方程式の利用」に入るわけですが、立式はできててもその後の計算ができていない生徒が意外にも多いです。理由はどの解法を使えば良いかわからないからです。つまり使い分けができていません。

これをどのように教えるべきか、に関しては以下の記事をご覧下さい。

中3「色々な形の2次方程式の計算」の教え方 - 塾講師、数学マンは踊る

①～④、⑤～⑧、⑨の3つくらいにわけ、最長でも3授業分くらいで身に付けられるかと。

2015年度7月(7/12)北辰

1 (1)～(6)　計算

(7)　「一次関数」と言われてその時点で諦める生徒もいましたが「規則性」の問題として考えればそこまで難しくありません。3ずつ減っているという規則に注目して算出すれば良いです。「そもそも一次関数ってxが1増えたらyは何増えるの規則の繰り返しだから、難しくないんだよ」と出題者が主張しているようにみえるのは大げさでしょうか。

(8)　扇形の面積の問題。覚えてれば解けます。

(9)　角錐の体積の問題。これも「底面積×高さ×1/3」を知ってれば解けます。

(10)　二つの度数分布表があり、階級の幅を変えて整理してある、という特殊な問題。私は見たことなかったです。階級が25以上の人でみればどちらも4人のはずだから、(イ)に入るのは2、という説明で良いかと。

(11)　①　数字の何行何列の問題。この問題は対象性の話をするのが一番スムーズで分かりやすいかと思います。

②　「文字式による説明」の問題。この時期の中学三年生がちょうど定期テストの範囲だったところです。難しい問題のわりに、出来は比較的良かったです。定期テストを乗り越えた子なら軽い解説をするだけで納得できるはず。

2　(1)　ルートの大小は2乗を計算して比較すればいいです。これもちょうど定期テストの範囲だったところ。

(2)　作図の問題。直線と点の最短距離はそれらが垂直になる位置です。作図は毎回必ず出題されてるので点数にしておきたいですね。

(3)　2つのサイコロの問題は表を書けば済みます。

(4)　ある立体の正しい展開図はどれか、という問題。この種の問題ではささっと展開図を紙で作って、それを用いて説明するというのが、分かりやすさという点では一番良い解説です。

(5)　①北辰が好きな、「椅子が余る」系の方程式の問題です。親切にも図が書いてあるので、それを用いて説明すれば簡単な気がします。

②毎回言ってますが、xを求めたらxが何を表すのかを確認し、文章の設問に合うように答えなければなりません。

３　(1)　「直線の式」と言われたらy = ax+bを書くのが原則。原点を通るのでy = axと書くのが理想ですが。あとは代入するだけ。関数の問題から逃げる生徒が多いですが、(1)は毎回比較的簡単なのでもったいないです。

(2)　点の座標を求める問題は、そのx座標をtと置くのが定跡です。ただ、この説明をしても分からないだろう生徒に対しては説明するだけ無駄なので、飛ばさせます。

また、直線mをy = 1/2x+bと置いて進めるのも賢いやり方です。Q(0,b)はR(□,0)とPの中点なのでPのy座標は2b。傾きの比の考えを使ってPのx座標は2b。これをy = -3/2x+9に代入すればbが計算できます。

4　(1)　正三角形が二つある場合（あるいは正方形が二つある場合）に出てきやすい証明です。やったことある子にとっては標準的なレベルのはずですが、大抵の生徒は忘れてました。

(2)　正三角形の角度は60度であることと、図形の(2)の問題は(1)の結果を利用することが多いこと、を知っていれば解ける問題。

(3)　基本的に捨てていいです。新たな合同な三角形、の発想はちょっと高度です。

全体として解き易く、簡単でした。平均点が怖いです。

私立の確約狙いで、夏休み明けの次回の北辰から本格的に動く人が多いです。次回は気合を入れねばなりません。

中2 「一次関数」の導入

一次関数を教える最初の授業（導入）は曲者です。いきなり「一次関数とはy=ax+bであある」と言っても初学者には意味不明です。一般に理系の教師は関数が得意な人が多いので、「理解できない人」が理解できない状況になるかもしれません。初めて学ぶわけですから、丁寧に教えましょう。

方針としては

・一次関数が何か＝一次関数とそうでないものの識別ができる

・一次関数の表し方(y=ax+b)を身に付けている

・一次関数のグラフが書ける（意味を知れる）

この3つができていれば導入としてはOKです。

板書１

＜一次関数とは＞

一次式のみのy,xの式を一次関数という。

例1　2x+3y = 1　一次式なので一次関数

例2　y = -2x^2　二次式なので一次関数ではない（二次関数）

point　yについて解き、y = ＿＿＿　の形にして考える

例3　y/x = -2

　　　 y = -2x ←両辺をx倍。一次式なので一次関数。

例4 　xy = 7

　　　 y = 7/x ←両辺をxで割った。「反比例」のy = a/xの形なので一次関数ではない

y = ax+bという形については触れないで、「一次式なら一次関数」という論理を教えます。比較的分かりやすく進められるはず。

板書2

＜一次関数の書き方＞

point 一次関数は「y = ax+b」の形で書く

① a,bには数字が入る

② y = ＿＿＿　の形で書く

③ ＿＿＿の中はxの項を先に書く

例1　y-3x = 2　　→　　y = 3x+2

例2　y = 4+1/2x　→　　y = 1/2x+4

教師目線では当たり前ですが、初学者にはそうではありません。丁寧に板書として取らせる必要があります。

グラフの書き方についてはまた後日。